Числовая последовательность
Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве \(n\) натуральных чисел, т. е. зависимость, при которой каждому натуральному числу ставится в соответствие единственное действительное число.
Числа, образующие последовательность (значения функции), называются членами последовательности. Они записываются буквами с индексами, обозначающими номер члена последовательности: \(f_1\) — первый член последовательности, \(f_2\) — второй член последовательности, \(\ldots\), \(f_n\) — \(n\)-й член последовательности. Последовательность с \(n\)-м членом \(f_n\) обозначается \((f_n)\). Для обозначения последовательности можно использовать любую букву латинского алфавита. Например, последовательность \((a_n)\) имеет вид \(a_1; \ a_2; \ \ldots; \ a_n; \ \ldots\)
Чтобы найти некоторый член последовательности с помощью формулы \(n\)-го члена, нужно вместо \(n\) подставить в формулу натуральное число, равное номеру искомого члена (индексу в его обозначении).
Для задания последовательностей часто используется рекуррентный способ. Он заключается в вычислении следующих членов последовательности по предыдущим.
Например, условия \(a_1 = 3\) и \(a_{n+1} = (n + 1) \cdot a_n\) определяют бесконечную последовательность: \(a_2 = 2 \cdot a_1\), т. е. \(a_2 = 2 \cdot 3 = 6\); \(a_3 = 3 \cdot 6 = 18\); \(a_4 = 4 \cdot 18 = 72\); \(\ldots\)
Пример
Последовательность задана формулой \(a_n = 12n + 9\). Найдите, под каким номером находится член последовательности, равный \(x\). Гарантируется, что число \(x\) является членом последовательности \((a_n)\).
x = int(input())
n = (x - 9) // 12
print(f"{n}")
33
2
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, т. е
\(a_{n+1} = a_n + d\)
Число \(d\) называется разностью арифметической прогрессии.
Например, если \(a_1 = 3, \ d = 4\), то получится арифметическая прогрессия \(3; \ 7; \ 11; \ 15; \ldots\)
Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии \((a_n)\) позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член \(a_1\), номер члена \(n\) и разность прогрессии \(d\):
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
Формулы суммы \(n\) первых членов арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{a_1 + a_n}2 · n\)
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}2 · n\)
Пример 1
В арифметической прогрессии \(a_1; \ a_2; \ \ldots\) найдите номер члена, равного \(x\). Если число \(x\) не является членом арифметической прогрессии, то выведите \(-1\). Гарантируется, что разность арифметической прогрессии \(d \ne 0.\).
a1 = int(input())
a2 = int(input())
x = int(input())
d = a2 - a1
if (x - a1) % d == 0:
n = (x - a1) // d + 1
else:
n = -1
if n <= 0:
n = -1
print(f"{n}")
1
2
10
10
1
3
6
-1
Пример 2
Найдите сумму \(n\) первых членов арифметической прогрессии, если известны первый член \(a_1\) и последний \(a_n\).
n = int(input())
a1 = int(input())
an = int(input())
s = (a1 + an) * n // 2
print(f"{s}")
100
1
100
5050
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число, не равное нулю, т. е.
\(b_{n+1} = b_n \cdot q\)
Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Например, если \(b_1 = 3, \ q = 2\), то получится геометрическая прогрессия \(3; \ 6; \ 12; \ 24; \ \ldots\).
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии \((b_n)\) позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член, номер члена и знаменатель прогрессии:
\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)
Формулы суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии:
\(S_n = \begin{cases} \frac{b_1 \cdot (q^n-1)}{q-1} & |q| > 1\\ n \cdot b_1 & |q| = 1 \\ \frac{b_1}{1-q} & |q| < 1 \end{cases}\)
Пример 1
Знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\) равен \(q\). Найдите первый член этой прогрессии, если известен \(3\)-й член.
q = int(input())
b3 = int(input())
b1 = b3 // q ** 2
print(f"{b1}")
2
1024
256
Пример 2
Найдите сумму \(n\) первых членов геометрической прогрессии, если известны первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\).
n = int(input())
q = int(input())
b1 = int(input())
s = b1 * (q ** n - 1) // (q - 1)
print(f"{s}")
5
5
1
781